[2015년 덕이고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {(n+3)(n+7)} over {2n ^{2} +1}]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 5over2]

④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 9over2]

수렴하는 세 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right], [eqn: left{c_n right]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

③

ㄱ. [eqn: lim_n->inf a_n =lim_n->inf (b_n +c_n )]이면
[eqn: lim_n->inf (a_n -c_n )=lim_n->inf b_n]이다.

ㄴ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n <b_n]이면
[eqn: lim_n->inf a_n <lim_n->inf b_n]이다.

ㄷ. 수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 [eqn: lim_n->inf |a_n |=0]이면
[eqn: lim_n->inf a_n =0]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{a_n right]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 5n-2<na_n <5n+5]
를 만족할 때, [eqn: lim_n->inf a_n]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: F_n]을
[eqn: F _{n} = LEFT { (x,```y)`left|`0 LEQ x LEQ {1} over {2} + {1} over {4} + CDOTS + {1} over {2 ^{n}} ,```0 LEQ y LEQ 1 RIGHT }]
이라고 하자. 집합 [eqn: F_n]에 속하는 원소 [eqn: (x,```y)]에 대하여 [eqn: 3x+y]의 최댓값을 [eqn: a_n]이라고 할 때, [eqn: lim_n->inf a_n]의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left{ a_n right]에 대하여 급수
[eqn: left(a_1 - 1^3 over1^4 right) +left(a_2 -{1^3 +2^3}over2^4 right) +cdots+left(a_n - {1^3 + 2^3 +cdots+n^3}overn^4 right) + cdots]
이 수렴할 때, [eqn: lim_n->inf a_n]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

그림과 같이 길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: rmAB_1]을 지름으로 하는 원 [eqn: rmC_1]이 있다. 선분 [eqn: rmAB_1]을 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmB_2]라 하고, 선분 [eqn: rmAB_2]를 지름으로 하는 원을 [eqn: rmC_2]라고 하자. 이와 같은 과정을 한 없이 반복하여 원을 그릴 때, 모든 원의 넓이의 합은? [4.7점]

④

① [eqn: 54over5 pi]	② [eqn: 63over5 pi]	③ [eqn: 72over5 pi]

④ [eqn: 81over5 pi]	⑤ [eqn: 18pi]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: lim_x->3- f(x)+lim_x->3+ f(f(x))]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->0 f(x)overx =4]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: f(x)=x]의 한 근이 [eqn: -1]일 때, [eqn: lim_x->inf {2x^3 -3x^2 +2}overxf(x)]의 값은? [4.8점]

①

① [eqn: 2over3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 4over3]

④ [eqn: 5over3]	⑤ [eqn: 2]

그림은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다. [eqn: -3<x<2]에서 함수 [eqn: f(x)]의 극한값이 존재하지 않는 [eqn: x]의 값의 개수를 [eqn: a], 불연속인 [eqn: x]의 값의 개수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: lim_x->0 f(x)overa +lim_x->1 b overf(x)]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

그림과 같이 두 점 [eqn: {RMA}(5,```0)], [eqn: {RMB}(0,```b)]에 대하여 삼각형 [eqn: RMOAB]에 내접하는 원 [eqn: RMC]가 있다. 원 [eqn: RMC]의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 할 때, [eqn: lim_b->0+ r overb]의 값은? (단, [eqn: RMO]는 원점이다.) [4.9점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1over5]

모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: (x^2 -4)f(x)=x^3 +5x^2 -4x-20]
를 만족시킬 때, [eqn: f(2)+f(-2)]의 값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: -10]	② [eqn: -7]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 10]

자기 자신의 세제곱보다 정확하게 [eqn: 1]더 큰 수가 자기 자신과 같아지는 수가 있다. 이 수가 존재하는 구간은? [4.4점]

②

① [eqn: (-3,```-2)]	② [eqn: (-2,```-1)]	③ [eqn: (-1,```0)]

④ [eqn: (0,```1)]	⑤ [eqn: (1,```2)]

다항함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: f(x+y) =f(x)+f(y)+2xy+1]
이 성립한다고 한다. [eqn: lim _{x -> 3} {} {f(x)-f` prime (x)} over {x-3} =3]일 때, [eqn: f` prime (0)]의 값은? [5.1점]

②

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_x->3 {f(x+2) -5}over{x^2 -9} =2]을 만족시킨다.
[eqn: g(x)=(x^2 -2x-14)f(x)]라 할 때, [eqn: g'(5)]의 값은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 17]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 52]

서술형

[eqn: lim_n->inf {1-3r^n}over2+r^2n]의 극한값은 [eqn: |r|>1]일 때, [eqn: a], [eqn: r=1]일 때 [eqn: b], [eqn: |r|<1]일 때 [eqn: c]이다. 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오. [9.0점]

[eqn: - {1} over {6}]

두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->a f(x)overg(x) =alpha]일 때, 다음의 물음에 답하시오. (단, [eqn: alpha]는 실수) [총 9.0점]

(1) 참, 거짓

(2) [eqn: lim _{x->a} g(x)timeslim _{x->a} {f(x)} over {g(x)} =lim _{x->a} f(x)=0]

(3) [eqn: a=8], [eqn: b=-33]

(1) 주어진 명제의 참, 거짓을 판별하시오. [2.0점]

(가) [eqn: lim_x->a g(x)=0]이면 [eqn: lim_x->a f(x)=0]이다.

(나) [eqn: lim_x->a f(x) =0]이면 [eqn: lim_x->a g(x) =0]이다.

(2) 주어진 명제 중 참인 명제를 증명하시오. [2.0점]

(3) 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim_x->3 {x^2 +ax +b}over2x-6 =7]일 때,

[eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오. [5.0점]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수
[eqn: f(x) = cases{lim_n->inf {x^n+1 +x^-n-1}over{x^n +x^-n} &`````(x!=0) #0&`````(x=0)]
에 대한 물음에 답하시오. [총 9.0점]

(1) [eqn: f(-1)=-1], [eqn: f(1)=1]

(2) [eqn: f(x)= {1} over {x}], [eqn: f(x)=x]

(3) [eqn: (-inf,```0)]과 [eqn: (0,```inf)]에서 연속,

(1) [eqn: f(-1)]과 [eqn: f(1)]의 값을 각각 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: -1<x<0] 또는 [eqn: 0<x<1]인 경우와 [eqn: |x|>1]인 경우의

함수 [eqn: f(x)]를 각각 구하시오. [4.0점]

(3) 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 좌표평면에 나타내고,

함수 [eqn: f(x)]가 연속인 구간을 구하시오. [3.0점]

미분가능성과 연속성에 관한 물음에 답하시오. [총 9.0점]

(1) [eqn: lim _{x->a} {f(x)-f(a)} over {x-a} =alpha], [eqn: lim _{x->a} (x-a)=0]에서

[eqn: lim _{x -> a} {} {f(x)-f(a)} over {x-a} (x-a)=0] [eqn: RARROW] [eqn: lim _{x->a} f(x)=f(a)]

(2) [eqn: a=4], [eqn: b=-5]

(1) 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하면

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 연속임을 보이시오. [4.0점]

(2) (1)을 이용하여 함수 [eqn: f(x)= cases{2x^3 +ax-3 &`````(x ge-1)#bx^2 -4&`````(x< -1)]가

[eqn: x=-1]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

[5.0점]

[2015년 덕이고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com